Phương trình vô tỷ (THCS, THPT) – Bài 1

Đăng trong Tháng Bảy 22, 2021 bởi Hoàng Bá Mạnh

Bài 1. Giải phương trình:

\dfrac{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}}{x+5+\sqrt{2(x^2+1)}} = \sqrt{(1-x)^3}+\dfrac{3-2\sqrt{x}}{2}

Lời giải

* Nhận xét: Với những bài biểu thức căn phức tạp và “lôm côm” như vậy, chúng ta không thể sử dụng các phương pháp phổ biến như nhân liên hợp, đặt ẩn phụ (trong/ngoài căn) hay thậm chí khảo sát hàm số. Trong tình huống này, thật may chúng ta vẫn còn một lối thoát nữa, đó là phương pháp đánh giá bằng cách sử dụng bất đẳng thức.

Điều kiện: 0\le x \le 1

Với x\le1 ta có:

VF\geq\sqrt{(1-x)^3}+\dfrac{3-2\sqrt{x}}{2}=\dfrac{1}{2} \qquad (1)

Mặt khác, với a,b\geq0 ta có a+b\le\sqrt{2(a^2+b^2)}, vì thế:

\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}\le \sqrt{2(3x+1+x+3)}=2\sqrt{2(x+1)}

và

x+5+\sqrt{2(x^2+1)}\geq x+5+(x+1)=2x+6

\Rightarrow {VT} \le \dfrac{2\sqrt{2(x+1)}}{2x+6} = \dfrac{\sqrt{2(x+1)}}{(x+1)+2} \le \dfrac{\sqrt{2(x+1)}}{2\sqrt{2(x+1)}}=\dfrac{1}{2} \qquad (2)

Kết hợp (1) và (2), phương trình đã cho tương đương:

\dfrac{1}{2} \geq VT=VF \geq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow VT=VF=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=1

Như vậy, chúng ta đã giải quyết xong bài toán “cồng kềnh” này chỉ bằng một vài bước biến đổi đơn giản.

Hãy theo dõi kênh và đón chờ những bài toán thú vị khác nhé ^^!

Bài này đã được đăng trong Ôn thi đại học, Toán lớp 10 và được gắn thẻ , , , , . Đánh dấu đường dẫn tĩnh.

Comments